Aragón 2025-B-P1

Dados \(N(t) = a_0 + a_1 t +….+a_n t^n\) y \(S=a_0-a_1+….+(-1)^n a_n,\) donde cada coeficiente \(a_p\) es un número entero, demuestre que \(N(1000)\) es congruente con \(S\) módulo \(1001.\) Deduzca del resultado anterior, un criterio de divisibilidad por \(7,\) \(11\) o \(13\) y aplíquelo al número \(312\,879\,645.\)