Aragón 2018-E2-P1

Sea $k$ un número natural no nulo y sea $f$ la función real de variable real dada por: $$\require{AMSmath}f(x)=\scriptstyle \begin{vmatrix} \binom{1}{0} & 0 & 0 & \dots & 0 & x \\ \binom{2}{0} & \binom{2}{1} & 0 & \dots & 0 & x^2 \\ \binom{3}{0} & \binom{3}{1} & \binom{3}{2} & \dots & 0 & x^3 \\ \vdots  & \vdots  & \vdots  & \ddots  & \vdots  & \vdots \\ \binom{k}{0} & \binom{k}{1} & \binom{k}{2} & \dots & \binom{k}{k-1} & x^k \\ \binom{k+1}{0} & \binom{k+1}{1} & \binom{k+1}{2} & \dots & \binom{k+1}{k-1} & x^{k+1} \end{vmatrix}.$$
a) Calcular $f(x+1)-f(x)$.
b) Expresar la suma $1^k+2^k+3^k+\dots+n^k$ mediante esta función.