Andalucía 2025-P3

1. Sea una circunferencia de centro \(O\) y radio \(R\). Desde un punto \(A\) de la circunferencia se considera el arco menor \(OM\), donde \(M\) es otro punto de la circunferencia. Sea \(B\) el punto diametralmente opuesto a \(A\).
   Determinar, en función de \(R\), el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo mixtilíneo \(OMB\).
2. Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en una elipse de semiejes \(a\) y \(b\).
3. Sean \(a, b \in \mathbb R\), \(n \in \mathbb N\) \((n \gt 2)\). Discutir en función de los valores de \(a\) y \(b\) el siguiente sistema:\[\left\lbrace \eqalign  {ax_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_{n−1} + x_n &= 1 \\ x_1 + ax_2 + x_3 +\dots + x_{n−1} + x_n &= b \\ x_1 + x_2 + ax_3 +\dots + x_{n−1} + x_n &= b^2 \\ \vdots \\ x_1 + x_2 + x_3 +\dots+ ax_{n−1} + x_n &= b^{n−2} \\ x_1 + x_2 + x_3 + · · · + x_{n−1} + ax_n &= b^{n−1} }\right.\]

NOTA: El personal aspirante deberá realizar dos problemas que elegirá de entre los cuatro que se proponen.