Es conocido el problema elemental de calcular una velocidad media de un trayecto cuando éste se divide en dos subtrayectos de igual distancia pero recorridos a distinta velocidad. La situación más simple es la de un vehículo (avión) que por condicionantes externos (el viento) lleva velocidades distintas a la ida y a la vuelta del desplazamiento (vuelo) entre dos ciudades. La intuición, que no la lógica, nos lleva a pensar que dicha velocidad media será igual a la media aritmética de las velocidades en los subtrayectos. Pero esta intuición no es acertada.
La velocidad media \(\bar v\) que se busca es la que permite recorrer el trayecto completo en el mismo tiempo total. Si la velocidad en el trayecto de ida es \(v_1\) y es \(v_2\) en el trayecto de vuelta, y si \(L\) es la distancia entre las dos ciudades, los tiempos son \(\require{AMSmath}\)\(t_1 = \dfrac{L}{v_1}\) y \(t_2 = \dfrac{L}{v_2}\) $$\bar v = \dfrac{2L}{t_1+t_2} = \dfrac{2L}{\dfrac{L}{v_1} + \dfrac{L}{v_2}} = \dfrac{2}{\dfrac{1}{v_1} + \dfrac{1}{v_2}}$$ Este valor es conocido como media armónica de los números \(v_1\) y \(v_2.\) Se puede expresar que «el recíproco de la media armónica de \(v_1\) y \(v_2\) es la media aritmética de sus recíprocos \(\dfrac{1}{v_1}\) y \(\dfrac{1}{v_2}\)». $$\frac{1}{\bar v} = \dfrac{\dfrac{1}{v_1} + \dfrac{1}{v_2}}{2}$$
Generalización: n etapas
Supongamos ahora una distancia fraccionada en \(n\) etapas de longitudes \(l_1,\) \(l_2,\dots,\)\(l_n\) recorridas a velocidades \(v_1,\) \(v_2,\dots,\)\(v_n,\) respectivamente. Los tiempos en recorrer cada etapa son \(t_1 = \frac{l_1}{v_1},\dots,\)\(t_n = \frac{l_n}{v_n}.\) La velocidad media que buscamos será tal que nos permita recorrer la totalidad de las etapas en el mismo tiempo total. Así pues, cumple $$\bar v = \frac{l_1+l_2+\dots+l_n}{t_1+t_2+\dots+t_n} = \frac{l_1+l_2+\dots+l_n}{\dfrac{l_1}{v_1}+\dfrac{l_2}{v_2}+\dots+\dfrac{l_n}{v_n}} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n l_i }{\displaystyle\sum_{i=1}^n \left ( \frac{1}{v_i} \; l_i \right )}$$ que puede escribirse como $$\frac{1}{\bar v} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n \left ( \frac{1}{v_i} \; l_i \right ) }{\displaystyle\sum_{i=1}^n l_i}$$ Es decir, «el recíproco de la velocidad buscada es la media ponderada de los recíprocos de las velocidades en cada etapa cuando se toman pesos iguales a la longitud de cada tramo».
Etapas isométricas
Obsérvese que la velocidad media no depende de la longitud de las etapas si éstas tienen la misma longitud \(L,\) $$\eqalign { \frac{1}{\bar v} &= \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n \left ( \frac{1}{v_i} \; l_i \right ) }{\displaystyle\sum_{i=1}^n l_i} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n \left ( \frac{1}{v_i} \; L \right )}{\displaystyle\sum_{i=1}^n L} \\ &= \frac{L \cdot \displaystyle\sum_{i=1}^n \frac{1}{v_i}}{n \cdot L} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n \frac{1}{v_i}}{n} }$$ y el recíproco de la velocidad media es la media aritmética simple de los recíprocos de las velocidades en cada etapa, o bien, $$\bar v = \frac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^n \frac{1}{v_i}},$$ es decir, cuando las etapas tienen la misma longitud «la velocidad media es la media armónica de las velocidades en cada etapa».[1]
Etapas isócronas
¿Cuál es la velocidad media si las etapas se recorren en el mismo tiempo? $$t = \frac{l_1}{v_1} = \frac{l_2}{v_2} = \dots = \frac{l_n}{v_n}$$ con ello $$\bar v = \frac{l_1+l_2+\dots+l_n}{t_1+t_2+\dots+t_n} = \frac{\sum_{i=1}^n ( t \cdot v_i )}{\sum_{i=1}^n t} = \frac{t \; \sum_{i=1}^n v_i}{n \cdot t} = \frac{\sum_{i=1}^n v_i}{n}.$$ Cuando se igualan los tiempos en cada etapa, «la velocidad media es la media aritmética de las velocidades en cada etapa».
[1]↑ Véase un didáctico ejemplo de etapas isométricas con el corredor en pista . La entradilla del artículo contiene una errata importante que ha sido comunicada en un comentario . El autor lo corregirá.