Ponderación de cuestionarios
En algunas ocasiones interesa dar una importancia relativa a cada cuestionario, para lo cual, ponderamos sus puntuaciones con pesos \(w_1\), \(w_2\) y \(w_3\). Entonces se calcula su media aritmética (ponderada) de la siguiente manera: $$\begin{aligned}\left [ Q \right ]&= \frac {w_1 \cdot \left [ Q_1 \right ] + w_2 \cdot \left [ Q_2 \right ] + w_3 \cdot \left [ Q_3 \right ]} {w_1 + w_2 + w_3} \\[1.2ex] &=\frac {w_1} {w} \cdot \left [ Q_1 \right ] + \frac{w_2} {w} \cdot \left [ Q_2 \right ] + \frac {w_3} {w} \cdot \left [ Q_3 \right ] \\[1.2ex] &= p_1 \cdot \left [ Q_1 \right ] + p_2 \cdot \left [ Q_2 \right ] + p_3 \cdot \left [ Q_3 \right ]\end{aligned}$$ donde se ha llamado \(w\) al peso total. Aquí, la fórmula de la línea inferior utiliza pesos normalizados.
Cuando decida fijar los pesos, no debe preocuparse de su normalización siempre que no olvide que la suma de productos de pesos por puntuaciones ha de dividirse por el peso total. Además, no hay ningún valor preferente para el peso total \(w\), ni siquiera el valor \(100\). Puede tomar pesos cuyo total sea el número que desee. El uso de pesos normalizados simplifica notablemente los cálculos.
Observe que la media aritmética simple, calculada más arriba sin ponderación, puede verse como una media ponderada tomando pesos iguales (o iguales a la unidad):
$$\begin{aligned} \left[ Q \right] &= \frac {1 \cdot \left [ Q_1 \right ] + 1 \cdot \left [ Q_2 \right ] + 1 \cdot \left [ Q_3\right ]} {1+1+1} \\[1.2ex] &= \frac {1} {3} \cdot \left [ Q_1 \right ] + \frac {1} {3} \cdot \left [ Q_2 \right ] + \frac {1} {3} \cdot \left [ Q_3 \right ]\end{aligned}$$
Ejemplo
Nuestros cuestionarios han arrojado las puntuaciones \(\left ( Q_1 \right )= 40\), \(\left ( Q_2 \right ) = 5{,}5\) y \(\left ( Q_3 \right )=65\).
que, una vez normalizadas, nos permiten hallar la media aritmética buscada:
$$[Q]=\frac{\frac{40}{45} + \frac{5{,}5}{10} + \frac{65}{100}} {3}=\frac{94}{135}\approx 0{,}6963$$Esta media puede expresarse como un rendimiento del \(69{,}6\%\) o como una nota \(6{,}96\) en la escala \(E{:}0 \ldots 10\)
Si los cuestionarios estuviesen ponderados con los pesos \(w_1=1\), \(w_2=1{,}5\) y \(w_3=2\), la media aritmética (ponderada) sería: $$[Q]=\frac{1 \cdot \frac{40}{45} + 1{,}5 \cdot \frac{5{,}5}{10} + 2 \cdot \frac{65}{100}} {1+1{,}5+2}\approx 0{,}6698$$ o, también $$[Q]=\frac{1}{4{,}5} \cdot \frac{40}{45} + \frac {1{,}5}{4{,}5} \cdot \frac{5{,}5}{10} + \frac {2}{4{,}5} \cdot \frac{65}{100}\approx 0{,}6698$$
Escala desplazada \(E{:}\text{min}\ldots\text{MAX}\)
Si alguna escala arrancase de un valor mínimo \(min \ne 0\), el cálculo para normalizar la puntuación en dicha escala sería poco más laborioso. Observe la fórmula:
Reubicamos nuestra escala en el origen, desplazándola \(min\) unidades a la izquierda:
$$\text{0}\ldots\text{MAX} – \text{min} \ \ \xleftarrow {{} \text {min}} \ \ \boxed {\text{min}\ldots\text{MAX}}$$
Nuestra puntuación \(\left ( Q \right )\) habrá disminuido la misma cantidad, obteniendo \(\left ( Q \right ) – \textrm{min}\). Ésta representa la siguiente fracción sobre el total
$$\left [ Q \right ] = \frac {\left ( Q \right ) – \text{min}} {\text{MAX} – \text{min}}$$
Esta fórmula generaliza los cálculos para cualquier escala. Asimismo, cuando queremos convertir una puntuación normalizada \(\left [ Q \right ]\) en una puntuación \(\left (Q \right )\) dentro de la escala \(E{:}\text{min} \ldots \text{MAX}\), calculamos así: $$\left ( Q \right ) = \text{min} + \left ( \text{MAX} – \text{min} \right ) \cdot \left [ Q \right ]$$