• 2 • Al azar se hace un corte en una cuerda. ¿Qué probabilidad hay de que el corte se haya dado por uno de los tercios extremos de la cuerda?
Es aconsejable leer primero este artículo de introducción .
Tomemos una cuerda de longitud \(L.\) Una medida de lo favorable al suceso se puede dar por la longitud de los tercios donde puede hacerse el corte, es decir una longitud de \(2L/3.\) La medida de lo posible viene dada por la longitud de la cuerda \(L;\) el corte puede darse en cualquier punto de la cuerda. La probabilidad que buscamos es el cociente $$\frac{2L/3}{L} = \frac{\,2\,}{3}.$$ Como se ve, no depende de la longitud de la cuerda.
¿Qué hay si damos dos cortes a la cuerda? ¿Con qué probabilidad alguno de los trozos será mayor que media cuerda?
Sean \(x,\) \(y,\) \(L -(x+y),\) las longitudes de los tres trozos de cuerda después de los cortes. Todas las medidas deben estar entre \(0\) y \(L.\) $$\require{AMSsymbols} 0 \leqslant x \leqslant L, \quad 0 \leqslant y \leqslant L, \quad 0 \leqslant L -(x+y) \leqslant L$$ La última relación equivale a \(0 \leqslant x+y \leqslant L,\) luego, la medida de lo posible nos la dará el área del triángulo de vértices en \((0,0),\) \((L,0),\) \((0,L).\) Si algún trozo ha de medir más de media cuerda, se ha de cumplir alguna de las condiciones siguientes $$ x \geqslant L/2, \quad y \geqslant L/2, \quad L -(x+y) \geqslant L/2, $$ ésta última equivale a \( x+y \leqslant L/2. \) Por tanto, cualquier punto en alguno de los triángulos coloreados es un resultado favorable.
Como el conjunto de posibles cortes está representado por cuatro triángulos iguales y tres de ellos representan el conjunto de cortes favorables, la probabilidad de que la longitud de algún trozo sea más de media cuerda es $$ \frac{\,3\,}{4} $$