Una tabla o matriz es una organización de objetos dispuestos en forma rectangular. Imagínese el patio de butacas de un cine.\(\require{AMSsymbols}\def \trasp#1{{\bf #1}^\intercal}\) Lo que interesa no son las butacas en sí, sino las personas que las ocupan. Cada butaca está localizada por su número de fila y su número de asiento en la fila. La numeración de las filas suele empezar en \(1\) y se incrementa conforme nos alejamos del escenario o la pantalla. Después de localizar la fila, localizar el número de butaca dentro de la fila puede resultar difícil. Aunque no haya pasillo central que las separe, las butacas situadas hacia el lado izquierdo del escenario suelen numerarse desde el centro de la fila con los números impares \(1, 3, 5,\ldots ,\) y las situadas hacia el lado derecho, con los números pares \(2, 4, 6,\ldots ,\) también desde el centro de la fila.
Algunos juegos se desarrollan en tableros de forma rectangular, muchas veces son cuadrados, como en el juego del ajedrez.
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| Fuente: www.chess.com | |
Observe que el rey blanco siempre está en \(e1\) y el rey negro, en \(e8\) aunque giremos el tablero. Aquí los contendores (escaques) alojan las piezas del juego y se ubican nombrando primero la letra del renglón vertical y luego el número de renglón horizontal. Es la notación algebraica que establece el reglamento del juego, funciona como un sistema de coordenadas. Blancas se colocan siempre desde la fila \(1\).
Esta forma de ubicación en el tablero de ajedrez difiere de la utilizada en matemáticas. Las matrices matemáticas son una organización rectangular de números. En esta disposición rectangular, a los renglones horizontales los hemos llamado filas y a los renglones verticales, columnas. La numeración es más sencilla. El primer contenedor de la primera fila se encuentra siempre arriba a la izquierda de la matriz. El número de fila aumenta hacia abajo y la posición dentro de la fila –el número de columna– lo hace hacia la derecha. $$\begin{array}{c|c c c c c} \, & 1 & 2 & 3 & \ldots & n \\ \hline 1 & □ & □ & □ & \ldots & □ \\ 2 & □ & □ & -4 & \ldots & □ \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots& & \vdots \\ m & □ & □ & □ & \ldots & □ \end{array}$$ Para colocar un número hemos de asignarle su posición en la matriz. Así, si la intersección de la fila \(2\) y la columna \(3\) está ocupada por el número \(-4\), podemos indicarlo como: \(\left ( 2,3 \right ) \mapsto -4\). A diferencia del tablero de ajedrez, en las matrices matemáticas siempre se indica primero la fila y luego la columna. Se utiliza una letra mayúscula para nombrar la matriz en su totalidad, pongamos \(\mathbf A\), y con la letra homónima minúscula subindicada con la fila y columna nombramos el contenido \(a_{2,3} = -4 \). En el mismo lugar para otra matriz \(\mathbf B\) estaría \(b_{2,3}\).
Cuando se quiere indicar una matriz \(\mathbf A\) general de \(m\) filas y \(n\) columnas, se escribe: $$\mathbf A \equiv \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \ldots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \ldots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \ldots & a_{m,n} \end{pmatrix} $$
A los \(a_{i,j}\) con \(1 ⩽ i ⩽ m\), y \(1 ⩽ j ⩽ n\) se les denomina elementos de la matriz \(\bf A\). Si no hay lugar a confusión, se omite la coma entre los índices de fila y columna. Así, escribiremos \(a_{23}\) en lugar de \(a_{2,3}\). Es muy común el uso (o abuso) de la notación \(\left ( a_{ij} \right )\) o \(\left ( \left ( a_{ij} \right ) \right )\) para referirse a la matriz completa \(\mathbf A\).
Decimos que esta matriz tiene dimensión \(m \times n\) (leído literalmente «\(m\) por \(n\)«). Según su dimensión, nos encontramos con matrices fila (o vectores fila) de dimensión \(1 \times n\), matrices columna (o vectores columna) de dimensión \(m \times 1\) y matrices cuadradas, cuando \(m = n\), diciendo, entonces, que es de orden \(m\) en lugar de decir de dimensión \(m \times m\). Así, las filas de la matriz son los vectores fila $$\left ( \begin{matrix} a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{in} \end{matrix} \right ) , \qquad {\rm con \; } 1 ⩽ i ⩽ m$$ Las columnas son los vectores columna $$\left ( \begin{matrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{matrix} \right ) , \qquad {\rm con \; } 1 ⩽ j ⩽ n$$
| Matriz fila \(1 \times 3\) |
Matriz columna \(3 \times 1 \) |
Matriz cuadrada orden 3 |
| $$\begin{pmatrix} 2 & 4 & -3 \end{pmatrix}$$ | $$\left ( \begin{array}{r} 2 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right )$$ | $$\left ( \begin{array}{r r r} 2 & 4 & -3 \\ 4 & -3 & 2 \\ -3 & 2 & 4 \end{array} \right )$$ |
¿Y no son iguales la matriz fila y la matriz columna anteriores? No, solo pueden ser iguales dos matrices que, siendo de igual dimensión, tengan iguales los elementos que ocupan la misma posición. Está claro que la dimensión \(1 \times 3\) y la \(3 \times 1\) no coinciden.
Hay una operación sobre matrices que intercambia sus filas y columnas llamada trasposición. A la matriz obtenida de \(\bf A\) por trasposición se le llama matriz traspuesta de \(\bf A\) y se denota por \(\trasp A\). Si volvemos a trasponer, obtenemos de nuevo la matriz inicial: \( \trasp {\left ( \trasp A \right )}={\bf A}\). Ahora podemos escribir:
$$\trasp{\begin{pmatrix} 2 & 4 & -3 \end{pmatrix}} = \left ( \begin{array}{r} 2 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right ), \quad \begin{pmatrix} 2 & 4 & -3 \end{pmatrix} = \trasp{\left ( \begin{array}{r} 2 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right )}$$
Al trasponer una matriz fila se obtiene una matriz columna y viceversa. En general, si \(\bf A\) tiene dimensión \(m \times n\) su traspuesta \(\trasp A\) tiene dimensión \(n \times m\). Las dimensiones coinciden solo cuando la matriz \(\bf A\) es cuadrada, como ocurre en la matriz de orden \(3\) anterior. Además, esta matriz tiene una propiedad de simetría frente a esta transformación. Podrá comprobar que $$\trasp{\left ( \begin{array}{r r r} 2 & 4 & -3 \\ 4 & -3 & 2 \\ -3 & 2 & 4 \end{array} \right )} = \left ( \begin{array}{r r r} 2 & 4 & -3 \\ 4 & -3 & 2 \\ -3 & 2 & 4 \end{array} \right )$$ A las matrices cuadradas que cumplen esta propiedad \(\trasp A = {\bf A}\) se les llama matrices simétricas. Hablando de sus elementos, resulta que \(a_{ij} = a_{ji}\) para todos los posibles valores de \(i\) y \(j\).