En lo que sigue presentaremos productos, digamos, interesantes, que realizan ciertas operaciones sencillas sobre una matriz como obtener una fila o columna, sumar filas o columnas y otras transformaciones algo más complejas que nos conducirán al cálculo de la matriz inversa. \(\require{AMSsymbols}\def\trasp#1{#1^{\raise 2pt \intercal}}\def\matrixset#1#2{{\mathcal M}_{#1 \times #2}} \def\sqmatrix#1{{\mathcal M}_{#1}} \def\diag#1#2#3{\begin{pmatrix} #1 & 0 & 0 \\ 0 & #2 & 0 \\ 0 & 0 & #3 \end{pmatrix}}\def\ordinal#1{#1{-}\text{$\rm\acute e$sima}}\def\matA{\left ( \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \end{array} \right )} \)Para fijar ideas, trabajaremos sobre una matriz \({\mathbf A} \in \sqmatrix{3} \) $${\mathbf A} = \matA$$
Obtener una fila o columna
Fijémonos en las columnas de la matriz identidad de \(\sqmatrix{3}\) $${\mathbf I} = \diag{1}{1}{1}$$ la columna \(\ordinal{j}\) \({{\mathbf e}_{j}}\) tiene un \(1\) en la fila \(\ordinal{j}\) $$\trasp{{\mathbf e}_{j}} = \stackrel{j}{ \begin{pmatrix} 0 & \dotsc & 1 & \dotsc & 0 \end{pmatrix}}$$
Para obtener una columna de una matriz la posmultiplicamos por la columna correspondiente de la matriz identidad. La columna \(\ordinal{j}\) de \({\mathbf A}\) se obtiene con el producto \({\mathbf A} {\mathbf e}_{j}\), p.e. la columna tercera de la matriz anterior se obtiene $${\mathbf A} {\mathbf e}_{3} = \matA \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Para obtener una fila de una matriz la premultiplicamos por la fila correspondiente de la matriz identidad. La fila \(\ordinal{i}\) de \({\mathbf A}\) se obtiene con el producto \(\trasp{{\mathbf e}_{i}}{\mathbf A}\), p.e. la fila segunda de \({\mathbf A}\) es $$\trasp{{\mathbf e}_{2}} {\mathbf A} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \matA = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$El elemento \(a_{ij}\) es $$a_{ij} = \trasp{{\mathbf e}_{i}}{\mathbf A} {\mathbf e}_{j}$$
Sumar cada fila o columna
Tomemos la matriz \(\trasp{\mathbf u} = \overbrace {\begin{pmatrix} 1 & \ldots & 1 \end{pmatrix}}^{ \text{todo unos}}\). $$\begin{align}{\mathbf A} {\mathbf u} && \text{suma cada fila de ${\bf A}$} \\ \trasp{\mathbf u} {\mathbf A} && \text{suma cada columna de ${\mathbf A}$}\end{align}$$
$$\begin{align}{\mathbf A} {\mathbf u} &= \matA \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\[1.2ex] &= \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + (-2) \cdot 1 + 3 \cdot 1 \\ 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \\ -1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\end{align}$$ $$\trasp{\mathbf u} {\mathbf A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\matA = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$$
Productos entre vectores
El producto escalar de los vectores \(x = ( x_1, x_2, \dots , x_m)\) e \(y = (y_1, y_2, \dots , y_m)\), es \(x \cdot y = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \dots + x_m y_m\) que puede expresarse matricialmente como $$\begin{align} x \cdot y = \trasp{\mathbf x} {\mathbf y} &= \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \dots & x_m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_m \end{pmatrix} \\ &= x_1 y_1 + x_2 y_2 + \dots + x_m y_m \end{align}$$ en particular $$x \cdot x = \trasp{\mathbf x} {\mathbf x} = x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_m^2$$
El producto escalar ponderado $$x \cdot y = w_1 x_1 y_1 + w_2 x_2 y_2 + \dots + w_m x_m y_m$$ también puede escribirse matricialmente utilizando una matriz diagonal de pesos $${\mathbf W} = \begin{pmatrix} w_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & w_2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & w_m \end{pmatrix}$$ así $$x \cdot y = \trasp{\mathbf x} \, {\mathbf W} \, {\mathbf y} = w_1 x_1 y_1 + w_2 x_2 y_2 + \dots + w_m x_m y_m$$
Fíjese que también es posible el producto de una matriz \(m \times 1\) por una matriz \(1 \times n\) resultando una matriz \(m \times n\). Si \(\trasp{\mathbf v} = \begin{pmatrix} v_1 & v_2 & \dots & v_n \end{pmatrix}\), entonces $$\begin{align}{\mathbf x} \; \trasp{\mathbf v} &= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 & v_2 & \dots & v_n \end{pmatrix} \\[1.2ex] &= \begin{pmatrix} x_1 v_1 & x_1 v_2 & \dots & x_1 v_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_m v_1 & x_m v_2 & \dots & x_m v_n \end{pmatrix} \end{align}$$
Transformar una matriz
El producto \(r {\mathbf A}\) de un número por una matriz es equivalente a un producto de matrices $$r {\mathbf A} = r ({\mathbf I} {\mathbf A}) = (r {\mathbf I}) {\mathbf A}$$ La matriz \(r {\mathbf I}\) tiene los elementos de la diagonal principal iguales a \(r\) y el resto son ceros. Se le llama matriz escalar. Su producto por \({\mathbf A}\) tiene el mismo efecto que multiplicar la matriz por el escalar \(r\).
Estamos ante una matriz identidad modificada cuyo producto por otra matriz replica sobre ésta los cambios que se hicieron sobre la matriz identidad. Este mecanismo de transformación desde la matriz identidad nos va a ayudar a precisar más adelante las que se conocen como operaciones elementales sobre una matriz, y las matrices elementales asociadas.
Transformaciones elementales
Estas son transformaciones que se realizan sobre una matriz en diversas aplicaciones del álgebra. Las transformaciones se pueden realizar sobre las filas o sobre las columnas de la matriz y se reducen a estas tres:
- Multiplicar una fila (columna) por un número.
- Sumar a una fila (columna) un múltiplo de otra.
- Intercambiar dos filas (columnas).
\(\bullet\) Multiplicar una fila por un número
La matriz \({\mathbf F}_{i(r)}\) multiplicará la fila \(\ordinal{i}\) por \(r\), p.e. multiplicar la segunda fila por \(-1\) $${\mathbf F}_{2(-1)} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Se ha multiplicado la fila segunda de la matriz identidad por \(-1\), el efecto que produce sobre \({\mathbf A}\) es el mismo: $$\begin{align} {\mathbf F}_{2(-1)} {\mathbf A} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \matA \\[1.2ex] &= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\end{align}$$
Para deshacer la transformación \({\mathbf F}_{i(r)}\) hemos de premultiplicar por \({\mathbf F}_{i(\frac{1}{r})}\). Dicho de otra forma, estas matrices son inversas una de otra, $${\mathbf F}_{i(r)}^{-1} = {\mathbf F}_{i(\frac{1}{r})}$$
Si interesase multiplicar cada fila por factores \(r,s,t\) podríamos premultiplicar \({\mathbf A}\) por la matriz $$\diag{r}{s}{t}$$ que es el resultado del producto \({\mathbf F}_{3(t)}{\mathbf F}_{2(s)} {\mathbf F}_{1(r)}\). Por su forma se denomina matriz diagonal y puede denotarse por \(\text{diag} ( r, s, t )\)
\(\bullet\) Sumar a una fila un múltiplo de otra
La matriz \({\mathbf F}_{i,j(r)}\) sumará a la \(\ordinal{i}\) fila \(r\) veces la fila \(\ordinal{j}\), p.e. sumar a la segunda fila tres veces la primera (la fila primera no cambia). $${\mathbf F}_{2,1(3)} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$\begin{align} {\mathbf F}_{2,1(3)} {\bf A} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \matA \\[1.2ex] &= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 3 & -5 & 11 \\ -1 & 1 & 0\end{pmatrix} \end{align}$$
La operación inversa de \({\mathbf F}_{i,j(r)}\) es restar a la \(\ordinal i\) fila \(r\) veces la fila \(\ordinal{j}\), es decir $${\mathbf F}_{i,j(r)}^{-1} = {\mathbf F}_{i,j(-r)}$$
\(\bullet\) Intercambiar dos filas
La matriz \({\mathbf F}_{i,j}\) intercambiará las filas \(\ordinal{i}\) y \(\ordinal{j}\), p.e. intercambiar las filas segunda y tercera. $${\mathbf F}_{2,3} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ $$\begin{align} {\mathbf F}_{2,3} {\bf A} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \matA \\[1.2ex] &= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{align}$$
Esta misma transformación aplicada de nuevo deja las cosas como estaban; es su propia inversa,$${\mathbf F}_{i,j}^{-1} = {\mathbf F}_{i,j}$$En consecuencia, todas las matrices \({\mathbf F}\) tienen inversa.
Habrá observado que siempre hemos premultiplicado la matriz \({\mathbf A}\) por matrices \({\mathbf F}\).
La asociatividad del producto permite aplicar una secuencia de transformaciones, bien sea una por una $$\begin{align} {\mathbf F}_{2(-1)} & \left ( {\mathbf F}_{2,1(3)} \left ( {\mathbf F}_{2,3} {\mathbf A} \right ) \right ) = \\[1.2ex] &= {\mathbf F}_{2(-1)} ( {\mathbf F}_{2,1(3)} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} ) \\[1.2ex] &= {\mathbf F}_{2(-1)} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & -5 & 9 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \\[1.2ex] &= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -2 & 5 & -9 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}\end{align}$$
o bien con una sola matriz que contiene todas las transformaciones: $$\begin{align}\left ( {\mathbf F}_{2(-1)}\right. & \left. {\mathbf F}_{2,1(3)} {\mathbf F}_{2,3} \right ) {\mathbf A} = \\[1.2ex] &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \matA \\[1.2ex] &= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -2 & 5 & -9 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}\end{align}$$
Transformaciones de columnas
De la misma forma pueden definirse matrices que realicen las operaciones sobre las columnas de una matriz. Las obtendremos transformando las columnas de la matriz identidad y las nombraremos con una letra \({\mathbf C}\). Habrá que posmultiplicar con ellas las matrices que deseemos transformar.
\(\bullet\) Multiplicar una columna por un número.
La matriz \({\mathbf C}_{j(r)}\) multiplicará la columna \(\ordinal{j}\) por el número \(r\), p.e. multiplicar la tercera columna por \(5\) $${\mathbf C}_{3(5)} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} = {\mathbf F}_{3(5)}$$ $$\matA {\mathbf C}_{3(5)} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 15 \\ 0 & 1 & 10 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Si una matriz la posmultiplicamos por la matriz diagonal \({\rm diag}(r,s,t)\) se multiplicarán las columnas por los factores \(r,s,t\).
\(\bullet\) Sumar a una columna un múltiplo de otra.
La matriz \({\mathbf C}_{i,j(r)}\) suma a la columna \(\ordinal{i}\) \(r\) veces la columna \(\ordinal{j}\), p.e. sumar a la columna primera el quíntuplo de la tercera $${\mathbf C}_{1,3(5)} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 5 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \trasp{\mathbf F}_{1,3(5)} = {\mathbf F}_{3,1(5)}$$ $$\matA {\mathbf C}_{1,3(5)} = \begin{pmatrix} 16 & -2 & 3 \\ 10 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$
\(\bullet\) Intercambiar dos columnas
La matriz \({\mathbf C}_{i,j}\) intercambiará las columnas \(\ordinal{i}\) y \(\ordinal{j}\), p.e. intercambiar las columnas primera y tercera. $${\mathbf C}_{1,3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = {\mathbf F}_{1,3}$$ $$\matA {\mathbf C}_{1,3} = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$
Estas matrices son traspuestas de las correspondientes transformaciones de filas, que son, a su vez, transformaciones de filas. Por tanto, también son invertibles. $$\begin{align}{\mathbf C}_{j(r)} &= \trasp{\mathbf F}_{j(r)} &= {\mathbf F}_{j(r)} \\[1.2ex] {\mathbf C}_{i,j(r)} &= \trasp{\mathbf F}_{i,j(r)} &= {\mathbf F}_{j,i(r)} \\[1.2ex] {\mathbf C}_{i,j} &= \trasp{\mathbf F}_{i,j} &= {\mathbf F}_{i,j} \end{align}$$ aquí los subíndices \(i,j\) en estas expresiones son índices de columna para las matrices \({\mathbf C}\) y de fila para las matrices \({\mathbf F}\).
Un paso hacia la inversa
¿Sería posible encontrar una sucesión de transformaciones elementales de filas \({\mathbf E}_1, {\mathbf E}_2, \dots, {\mathbf E}_p\) de manera que aplicadas sobre una matriz cuadrada \({\mathbf A}\) la transformen en la matriz identidad \({\mathbf I}\)? Si esto fuese así, tendríamos que $$\left ( {\mathbf E}_p \dots {\mathbf E}_2 {\mathbf E}_1 \right ) {\mathbf A} = {\mathbf I}$$ lo que nos diría que este producto es la matriz inversa de \({\mathbf A}\) $${\mathbf E}_p \dots {\mathbf E}_2 {\mathbf E}_1 = {\mathbf A}^{-1}$$