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El doble producto vectorial

La identidad conocida como doble producto vectorial se expresa como \(\def\vecbf#1{\mathbf {#1}}\) $$\vecbf a \times (\vecbf b \times \vecbf c) = (\vecbf a \cdot \vecbf c) \, \vecbf b-(\vecbf a \cdot \vecbf b) \, \vecbf c$$ para cualesquiera vectores \(\vecbf a, \vecbf b, \vecbf c\) del espacio euclideo \(\mathbb R^3.\) La identidad refleja que el doble producto vectorial es un vector del plano generado por el sistema \(\{\vecbf b, \vecbf c \},\) es decir, es combinación lineal de ellos.

Para su demostración utilizaremos unos resultados previos.

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Rectas apoyadas en dos rectas

Sean dos rectas \(\def\vecbf#1{\mathbf {#1}}\def\Lon#1{\Vert #1 \Vert}\require{AMSmath}\) \(r\) y \(r’\) del espacio afín euclídeo tridimensional. Recordamos que la base del sistema de referencia es ortonormal. Podemos suponer una de ellas definida por sus ecuaciones implícitas, como intersección de planos $$\eqalign { r &\colon \begin{cases}\pi_1 \colon a_1 x + b_1 y +c_1 z + d_1= 0 \\ \pi_2 \colon a_2 x + b_2 y +c_2 z + d_2 = 0 \end{cases} \\ & \hphantom{\colon}  }$$ y la otra por cualquiera de sus formas continua, vectorial o paramétrica: $$r’ \colon \dfrac{x -p’_1}{v’_1} = \dfrac{y -p’_2}{v’_2} = \dfrac{x -p’_3}{v’_3}.$$

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Submatrices, matrices por bloques

Una submatriz de otra es la matriz que resulta después de quitar alguna fila o columna de ésta. Se admite que las líneas eliminadas  o las resultantes no sean contiguas. La descomposición de una matriz en bloques o partición de una matriz consiste en tomar  submatrices con elementos contiguos de la matriz.  Separando bloques mediante líneas horizontales o verticales que recorren toda la matriz, las celdas obtenidas constituyen una partición de la matriz rectangular. No hay una subdivisión única, pero en la práctica uno o varios bloques pueden estar relacionados con algún proceso determinado. Cuando están particionadas podemos dar nombre a los bloques y tomarlos como nuevos elementos de la matriz.

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Matriz de un homomorfismo

Consideremos dos espacios vectoriales \(\def\vecbf#1{\mathbf {\vec {#1\,}}}\def\dim#1{\text{dim }#1}\def\ker#1{\text{Ker }#1}\def\im#1{\text{Im }#1}\)\(\mathbb V\) y \(\mathbb V’\) sobre el mismo cuerpo de escalares \(\mathbb K\) con \(\dim {\mathbb V} = n\) y \(\dim {\mathbb V’} = m.\) Sean las bases \(\mathcal B = \{ u_i \}_{i=1}^{n}\) del espacio \(\mathbb V\) y \(\mathcal B’ = \{ u’_j \}_{j=1}^{m}\) del espacio \(\mathbb V’.\) Sea \(f : \mathbb V \rightarrow  \mathbb V’\) una aplicación lineal.

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Cambio de base

Consideremos el espacio vectorial \(\def\vecbf#1{\mathbf {\vec {#1\,}}}\)\(\mathbb V\) sobre el cuerpo de escalares \(\mathbb K.\) Tomaremos \(\mathcal B\) y \(\mathcal {\widehat B},\) dos bases. Para un vector \(v \in \mathbb V,\) nombraremos \((v)_{\large\ast}\) a la matriz  columna con las coordenadas de \(v\) en la base subindicada \(\ast\). Sabemos que el cambio de la base \(\mathcal B\) a la base \(\mathcal {\widehat B},\) viene dado por una matriz \(M_{\mathcal B, \mathcal {\widehat B}}\) regular que tiene por columnas las coordenadas de los vectores de la base \(\mathcal B\) cuando se expresan en la base \(\mathcal {\widehat B}\) de manera que \((v)_\mathcal {\widehat B} = M_{\mathcal B, \mathcal {\widehat B}} \,  (v)_\mathcal B.\)

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La traza de una matriz cuadrada

La traza de una matriz cuadrada \(\def\vdet#1{\left \vert {#1} \right \vert}\def\tr{\mathrm{tr}}\def\bfvec#1{\boldsymbol{#1}}\def\trasp#1{{#1}^{\sf{T}}}\)\(A = (a_{ij})_{i,j=1,\dots, n}\) se define como la suma de los elementos de la diagonal principal $$\tr(A) =\sum_{i=1}^n a_{ii} = a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}$$

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