I. Baleares. Ibiza 2025-A-P2

Una ciudad \(A\) es de tránsito, estimándose que de los habitantes que tiene a comienzos de cada año, al final del mismo han emigrado \(2/3\) a otra ciudad \(B,\) y \(1/3\) a la ciudad \(C.\) Por otra parte, y durante el mismo año, \(1/3\) de la población de \(B\) y \(1/3\) de la población de \(C\) se establece en \(A.\)

1. Nombrando \(\overline X_k=(\overline A_k, \overline B_k, \overline C_k)^{\sf T}\) al vector de poblaciones de cada ciudad después del año \(k,\) encuentra la expresión de la matriz que permite calcular la población del año siguiente \(\overline X_{k+1}=M \, \overline X_{k}.\) Además, encuentra la expresión matricial que permite calcular las poblaciones después de \(k\) años si la población inicial es \(X_0.\)
2. Sabiendo que en el momento inicial las poblaciones de \(A,\) \(B\) y \(C\) eran \(60,\) \(200\) y \(300,\) respectivamente, encuentre las poblaciones en régimen estacionario. Es decir, calcula \(\lim_{k\to\infty} \overline X_k.\)