La Rioja 2025-P4

Sea \(\mathbb R_2[x]\) el espacio vectorial de los polinomios \(p(x)=ax^2+bx+c\) de grado menor o igual que dos y sea \(f\) la aplicación bilineal: \[f: \mathbb R_2[x] \times \mathbb R_2[x] \longrightarrow \mathbb R \\
(p_1,p_2) \mapsto \int_0^1 p_1(x) \, p_2(x) \D x.\]

1. Dada la base \(\mathcal B = \{1,x,x^2\},\) hallar la matriz \(G\) que caracteriza a la aplicación \(f\) en dicha base.
2. Demostrar que la aplicación \(f\) es definida positiva.

Dados los polinomios \(p(x) = 3x^2 + 1,\) \(q(x)=2x+1,\) calcular \(\int_0^1 p(x)\,q(x) \D x\) sin realizar para ello la integración.