La Rioja 2025-P1

Una variable aleatoria \(𝑋\) tiene una función de densidad dada por \[f(x) = \left \lbrace \matrix { 0 & \text{si } x \le 0 \\ k\,x\,\E^{-x^2} & \text{si } x \gt 0}\right.\]

1. Halla el valor de \(k\) para que, en efecto, sea una función de densidad de
   probabilidad.
2. Halla la función de distribución de la variable aleatoria \(X\) y calcula la  probabilidad \(P(-1 \le X \le 1).\)
3. Determina el valor de la moda y de la mediana.
4. Halla el valor esperado de \(X\) y su varianza.