Ceuta 2016-P4

La longitud del radio de una esfera es una variable aleatoria con función de densidad \[f(x) = k \, x(1−x), \quad\text{si } 0 \le x \le 1\] y nula en el resto.

1. Calcule el valor de la constante \(k\) para que \(f\) sea efectivamente una función de densidad. Calcule, asimismo, la función de distribución.
2. Se sabe que el radio de la esfera mide más de \(\frac{1}{3}.\) Calcule la probabilidad de que su longitud sea inferior a \(\frac{3}{4}.\)
3. Si \(S = 4\pi x^2\) es la superficie de la esfera de radio \(x\), calcule \(P(S\gt s).\)