Asturias 2016-P1

Dados los números \(a, b \in \mathbb R,\) se considera la serie de números complejos \(\sum_{n=0}^\infty \E^{n(a+b\I)}.\)

1. Estudie la convergencia de la serie según los valores de \(a\) y \(b.\)
2. ¿Existe algún valor real de \(a\) para el que la suma de la serie sea un número imaginario puro?
3. Calcule los valores reales de \(b\) para los que se cumple la igualdad: \[\frac{1}{2}\cos b+\frac{1}{4} \cos 2b+\frac{1}{8} \cos 3b + \dots = 0.\]