Ceuta 2018-P4

Se considera la aplicación lineal \(f:\mathbb R^3  \rightarrow \mathbb R^3\) definida por: $$\left\lbrace\eqalign{ f(e_1) &=e_2 + e_3 \\ f(e_2) &= e_1 + e_3 \\ f(e_3) &= e_1 + e_2 } \right.$$ siendo \(\{e_1, e_2, e_3\}\) la base canónica de \(\mathbb R^3:\)

a) Calcular la matriz asociada respecto de la base canóncia y analizar si esta aplicación lineal es o no inyectiva.
b) Probar que: $$ \forall n \in \mathbb N, f^n = a_n f + b_n I$$ siendo, para cada \(n \in \mathbb N,\) \(a_n\) y \(b_n\) números reales a determinar.