País Vasco 2021-P1

Dada la matriz \(A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) siendo \(a,b,c,d \in \mathbb R,\) \(a+d=-1,\) \(ad-bc=-2.\) Sea \(E\) el espacio vectorial que tiene \(\{A,I\}\) como sistema generador.

1. Hallar \(\dim E\).
2. Comprobar que \(A^2+A-2I=0.\) Deduce que \(A^{-1} \in E\).
3. Demostrar que el producto de matrices es una operación interna en el espacio vectorial \(E\).
4. Encontrar todas las matrices \(X\) del espacio vectorial \(E\) que verifican la igualdad \(X^2=X\). ¿Estas matrices son inversibles?