La Rioja 2015-P2

Escribir los divisores de \(1001\). Si \(N = a_0 + a_1 t +….+a_n t^n\) y \(S=a_0-a_1+….+(-1)^n a_n,\) en donde \(t=1000\) y cada coeficiente es entero, demostrar que \(N\) y \(S\) son congruentes módulo \(1001.\) Deducir de ello un criterio de divisibilidad por \(7,\) \(11\) o \(13\) y aplicarlo a \(312\,879\,645.\)