Cuando en la escuela primaria nos enseñan el algoritmo de la división no atisbamos ni de cerca su importancia. En torno a ella, la división de enteros, rondan los conceptos de divisibilidad, máximo común divisor y algoritmo de Euclides, sistemas de numeración, aritmética modular. Ahora daremos un primer paso formalizando el concepto de división entera.
El algoritmo conocido desde la educación primaria para la división entera de \(\def\divcaja#1#2#3#4{\begin{matrix} #1 & \begin{array}{|l} {#2}\;\, \\ \hline \end{array} \\ \vdots & #3 \\ #4 \end{matrix}} \def\divent#1#2#3#4{#1 = #2 \cdot #3 + #4}\)\(17\) entre \(5\) lo representamos como $$\divcaja{17}{5}{3}{2}$$ y llamamos dividendo a \(17\), divisor a \(5\), cociente a \(3\) y resto a \(2\). Observamos que las igualdades siguientes son todas ciertas \(\def\bmag#1{\bf\color{magenta}{#1}}\def\equivmod#1{\mathbin {\mathop \equiv_{#1}}}\def\otimesmod#1{\mathbin{\mathop{\otimes}_{#1}}}\def\oplusmod#1{\mathbin{\mathop{\oplus}_{#1}}} \def\clasemod#1#2{\left [\, #2 \, \right ]_{#1}}\def\invmod#1#2{{\clasemod{#1} {#2}}^{-1}}\) $$\eqalign { &\vdots \\ 17 &= 5 \cdot (-1) + &22 \\ 17 &= 5 \cdot \phantom{(-} 0 \phantom{)}+ &17 \\ 17 &= 5 \cdot \phantom{(-} 1 \phantom{)}+ &12 \\ 17 &= 5 \cdot \phantom{(-} 2 \phantom{)} + &7 \\ \longrightarrow 17 &= 5 \cdot \phantom{(-} 3 \phantom{)} + &\fbox {2} \longleftarrow \\ 17 &= 5 \cdot\phantom{(-} 4 \phantom{)} + &(-3) \\ &\vdots}$$ Cada incremento de una unidad en el segundo factor nos obliga a disminuir en cinco unidades el último sumando para no alterar el resultado. ¿Pero qué hace distinta a la igualdad señalada? Efectivamente, es la única en la cual después del múltiplo de \(5\) el sumando es positivo y menor que \(5\). Es por ello que recibe el nombre especial de división euclídea de \(17\) entre \(5\).$$17 = 5 \cdot 3 + 2 \tag {1}$$ Esto surge del siguiente resultado: Dados \(a\), un número entero cualquiera, y \(b\), un número natural, existe una única pareja de números \(q\) entero y \(r\) natural de forma que $$a = b \cdot q + r, \quad\text{ con } 0 \leq r \lt b$$ Esta expresión se llama división euclídea de \(a\) entre \(b\) y $$\eqalign {q &= \max \left \{ c \in \mathbb Z : b \cdot c \leq a\right \} &\text { es el $\textit {cociente}$, } \\ r &= a -b \cdot q &\text { es el $\textit {resto}$ de la división}}$$ Esto nos dice que «el cociente \(q\) se elige de forma que \(b \cdot q \) es el múltiplo de \(b\) más cercano al número \(a\) sin superarlo», y los restos posibles son los \(b\) números \(0, 1, \dotsc , b-1\). La división entera de \(a\) entre \(b\) nos permite expresar $$a = \dot b + r, \quad\text{ con } 0 \leq r \lt b$$ es decir, expresamos \(a\) como un múltiplo de \(b\) más un número inferior a \(b\).
El enunciado se puede extender al caso de ser \(b\) un número entero negativo haciendo la única variación siguiente: Se divide \(a\) entre \(|\,b\,| \gt 0\) obteniendo un cociente \(q\) y un resto \(r\)$$\begin{align} a &= |\,b \,| \cdot q + r, \quad \text{ con } 0 \leq r \lt \left |\,b \,\right |\\ &= -b \cdot q + r \\ &= b \cdot (-q) + r \tag{2}\label{eq2}\end{align}$$
La última expresión muestra otra forma de hallar la división entera cuando \(b\) es negativo: es decir, se halla la división entera entre los números positivos y cambiamos el cociente de signo, conservando el mismo resto. También podemos obtener el cociente moviéndonos en la recta numérica a la izquierda de \(a\) hasta localizar el primer múltiplo de \(b\) y el resto, positivo o nulo, se calcula como en la definición.
Una vez comprendido cómo se obtiene el cociente es posible, con algo de cuidado, expresar la división entera cuando alguno o ambos de los números \(a\) y \(b\) son negativos. Para hallar la división entera de \((-17)\) entre \(5\) hemos de encontrar una igualdad como \(-17 = 5 \cdot q + r\), en la que \(0 \leq r \lt 5\). El mayor múltiplo de \(5\) que no supera a \((-17)\), es \(-20\), por tanto, el cociente es \(q = -4\) ya que \( -20 = 5 \cdot (-4) \le -17\). Entonces, el resto será \(r=-17- 5 \cdot (-4) = 3\). Luego la división entera que buscamos es $$-17 = 5 \cdot (-4) + 3$$
Probemos con el divisor negativo. La división entera de \(17\) entre \((-5)\) comienza por la búsqueda del cociente. Si los números fuesen positivos, el cociente sería \(3\) y el resto \(2\), pues, cambiando el signo del cociente y conservando el resto \( 17 = (-5) \cdot (-3) + 2\) es la división entera buscada. También podemos proceder según la definición: El primer múltiplo de \((-5)\) por debajo de \(17\) es \(15\), que se expresa como \(15 = (-5) \cdot (-3)\), luego el cociente es \(q=-3\) y el resto \(r = 17 – (-5) \cdot (-3) = 2\). La división entera es $$17 = -5 \cdot (-3) + 2$$
Y para finalizar, la división entera de \((-17)\) entre \((-5)\). El primer múltiplo de \((-5)\) por debajo de \((-17)\) es \((-20)\) (¡atento con los negativos!) que expresado como múltiplo de \((-5)\) es \(-20 = (-5) \cdot 4\). El cociente es \(q=4\) y el resto \(r = -17 – (-5) \cdot 4 = 3\). La división entera es $$-17 = -5 \cdot 4 + 3$$ Intenta calcular las divisiones enteras siguientes:
Usando la calculadora de bolsillo
El procedimiento que se explica a continuación no funciona cuando el divisor es negativo. Aunque, ya hemos visto en \(\require{AMSmath}\def\keybox#1{\; \boxed {\vphantom {|} #1 \, } \;}\)\(\eqref{eq2}\) que, en este caso, basta con cambiar el signo del cociente. En las aplicaciones prácticas no se utilizan divisores negativos, por lo que el cociente de la división entera tendrá el mismo signo que el dividendo y, como veremos ahora, su cálculo es muy sencillo. Tomemos los números \(12538\) y \(-4153\) y hallemos sus divisiones enteras entre \(5\) y \(29\). Para encontrar cociente y resto vamos a ayudarnos de una calculadora. Calculamos con decimales $$12538 \keybox{\div} 5 \keybox{=} 2507{,}6$$ tomamos para el cociente el entero por debajo de este resultado, es decir \(q=2507\), el resto será $$12538 \keybox{-} 5 \keybox{\times} 2507 \keybox{=} 3,$$ por tanto, $$12538 = 5 \cdot 2507 + 3.$$ Para la división entre \(29\) dividimos con decimales $$12538 \keybox{\div} 29 \keybox{=} 432{,}34482\dotsc$$ y el cociente es \(q=432\) y el resto \(r = 12538 – 29 \cdot 432 = 10\), por tanto \(12538 = 29 \cdot 432 + 10\). Para el número negativo \(-4153\) procedemos de igual forma: $$-4153 \keybox{\div} 29 \keybox{=} -143{,}2068\dotsc$$ tomamos como cociente el entero inmediato por debajo de este valor, es decir \(q=-144\) y el resto es \(r=-4153- 29 \cdot(-144) = 23\), por tanto $$-4153 = 29 \cdot (-144) + 23.$$