La Rioja 2023-P4

Sea \(O\) el origen del plano cartesiano, \(C\) la circunferencia de radio \(a\) centrada en \((0,a)\) y \(T\) la recta tangente a \(C\) en el punto \((0,2a).\) La cisoide de Diocles es el lugar geométrico de los puntos \(P\) que verifican \(\lon{OP}=\lon{AB},\) donde \(A\) y \(B\) son los puntos de intersección de la recta que pasa por \(O\) y por \(P\) con \(C\) y \(T,\) respectivamente.

1. Encontrar la ecuación de la cisoide en coordenadas polares y cartesianas.
2. Demostrar que la recta \(T\) es una asíntota de la cisoide.